Relativistiska effekter


Jag vill börja med att säga att jag inte har några djupare kunskaper om allmänna reltivitetsteorins matematik. I övriga delar av programmet har jag försökt härleda och förstå alla formler jag använt. Men formlerna på den här sidan har jag mer eller mindre bara kopierat från andra källor och infogat i mitt program och konstaterat att de ger ett bra resultat utan att förstå den djupare innebörden bakom. Mina källor här är en sida om relativitet på Project Pluto samt ”Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac”.

Det man kan konstatera angående relativistiska effekter är att himlakropparnas inbördes hastighet påverkar tyngdkraften, inte bara som i Newtonskt gravitation massa och avstånd. Man kan också konstatera att effekten inom solsystemet är ganska liten, dock inte försumbar. För solen, som har den största relativistiska effekten, är den från 10-8 för de inre planterna till 10-10 för de yttre jämfört med den Newtonska tyngdkraften. Jordens påverkan på de andra planeterna är runt 10-13 utom för månen där effekten är ca. 10-8. Jupiters påverkan ligger mellan 10-11 och 10-13 och Neptunus påverkan är runt 10-15.

Om man bara vill ta med effekten från solen och har ett koordinatsystem där där solen befinner sig i vila i origo kan man använda följande formel:

           uttryckt i vektorform, samma formel utskriven för x, y och z-koordinaterna blir:

 

Där ɑ är den relativistiska accelerationen som ska läggas till den Newtonska tyngdkraftsaccelerationen, μs är GM för solen (G=gravitationskonstanten, M=massa), c är ljusets hastighet, r är planetens avstånd till solen, v är planetens hastighet i förhållande till solen, r är planetens positionsvektor, v är planetens hastighetsvektor, v∙r är skalärprodukten av v och r, ax, ay och az är relativistiska tyngdkraftsaccelerationen i x-, y- oc z-led, x, y, z är planetens koordinater, vx, vy, vz är planetens hastighet i x-, y- och z-led. Skalärprodukten v∙r beräknas med: vx x + vy y + vz z

En mer fullständig formel, med några fler termer, och som kan användas mellan två valfria himlakropper följer nedan. Detta är samma formel som används i JPL:s efemerider och som jag numera använder i mitt program. Formeln visar hur himlakropp i påverkas av himlakropp j och ger som tidigare den korrektion som ska läggas till den Newtonska accelerationen. Först formeln i vektorform:

 

Samma formel uttryck för x-koordinaten följer nedan (y och z-formlerna blir på motsvarande sätt)

 

r, ɑ, ax, c och μ är samma som ovan men med index i och j för respektive himlakropp. ɑj som förekommer på två ställen i högerledet är den Newtonska tyngdkraftsaccelerationen. rij är avståndet mellan himlakropparna. v och vx är himlakropparnas hastigheter i förhållande till solsystemets barycenter (som också måste beräknas). Formeln innehåller också fyra skalärprodukter att räkna fram.

Om man har ett koordinatsystem med solsystemets barycenter i vila i origo har man redan rätt hastigheter. I mitt fall har jag solen i vila i origo, så därför räknar jag ut barycentrets position och hastighet för att få korrekta värden att sätta in i formeln ovan. Eftersom 99,86 % av solsystemets massa finns i solen så finns solsystemets barycenter väldigt nära solens centrum, sådär 700 000 km från centrum, vilket är ungefär vid solens yttterhölje. Barycentrets hastighet är av storleksordningen 0,01 km/s. Formlerna jag använder för barycentret är:

 

Där rb är baraycentrets riktningsvektor, vb dess hastighetsvektor, mTOT är solsystemets totala massa, n är antalet himlakroppar i modellen, ri, vi och mi den enskilda himlakroppens positions- och hasighetsvektor samt massa.