Jag vill börja med att säga att jag inte har några djupare kunskaper om allmänna reltivitetsteorins matematik. I övriga delar av programmet har jag försökt härleda och förstå alla formler jag använt. Men formlerna på den här sidan har jag mer eller mindre bara kopierat från andra källor och infogat i mitt program och konstaterat att de ger ett bra resultat utan att förstå den djupare innebörden bakom. Mina källor här är en sida om relativitet på Project Pluto samt ”Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac”.
Det man kan konstatera angående relativistiska effekter är att himlakropparnas inbördes hastighet påverkar tyngdkraften, inte bara som i Newtonskt gravitation massa och avstånd. Man kan också konstatera att effekten inom solsystemet är ganska liten, dock inte försumbar. För solen, som har den största relativistiska effekten, är den från 10-8 för de inre planterna till 10-10 för de yttre jämfört med den Newtonska tyngdkraften. Jordens påverkan på de andra planeterna är runt 10-13 utom för månen där effekten är ca. 10-8. Jupiters påverkan ligger mellan 10-11 och 10-13 och Neptunus påverkan är runt 10-15.
Om man bara vill ta med effekten från solen och har ett koordinatsystem där där solen befinner sig i vila i origo kan man använda följande formel:
uttryckt i vektorform, samma formel utskriven för x, y och z-koordinaterna blir:
Där ɑ är den
relativistiska accelerationen som ska läggas till den Newtonska
tyngdkraftsaccelerationen, μs är GM för solen (G=gravitationskonstanten,
M=massa), c är ljusets hastighet, r är planetens avstånd till solen, v är planetens hastighet i förhållande
till solen, r är planetens positionsvektor, v är planetens
hastighetsvektor, v∙r är skalärprodukten av v och r,
ax, ay och az
är relativistiska tyngdkraftsaccelerationen i x-, y- oc z-led, x, y, z är planetens koordinater, vx, vy, vz
är planetens hastighet i x-, y- och z-led. Skalärprodukten v∙r beräknas med: vx
x + vy y + vz z
En mer fullständig formel, med några fler termer, och som kan användas
mellan två valfria himlakropper följer nedan. Detta är samma formel som används
i JPL:s efemerider och som jag numera använder i mitt
program. Formeln visar hur himlakropp i påverkas av himlakropp j och ger som
tidigare den korrektion som ska läggas till den Newtonska accelerationen. Först
formeln i vektorform:
Samma formel uttryck för x-koordinaten följer nedan (y och z-formlerna blir på motsvarande sätt)
r, ɑ, ax, c
och μ är samma som ovan men med index i och j för
respektive himlakropp. ɑj som förekommer på två ställen i högerledet
är den Newtonska tyngdkraftsaccelerationen. rij är avståndet
mellan himlakropparna. v och vx är himlakropparnas hastigheter i förhållande till
solsystemets barycenter (som också måste beräknas). Formeln innehåller också
fyra skalärprodukter att räkna fram.
Om man har ett koordinatsystem med solsystemets barycenter i vila i
origo har man redan rätt hastigheter. I mitt fall har jag solen i vila i origo,
så därför räknar jag ut barycentrets position och hastighet för att få korrekta
värden att sätta in i formeln ovan. Eftersom 99,86 % av solsystemets massa
finns i solen så finns solsystemets barycenter väldigt nära solens centrum,
sådär
Där rb är baraycentrets riktningsvektor, vb
dess hastighetsvektor, mTOT
är solsystemets totala massa, n är
antalet himlakroppar i modellen, ri, vi och mi den enskilda himlakroppens
positions- och hasighetsvektor samt massa.